Question

定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）的函数y=f（x）满足f（x）=f（2-x），（x-1）f′（x）＞0．若x₁+x₂＞2且x₁＜x₂，则（　　）

• A、f（x₁）＜f（x₂）
• B、f（x₁）＞f（x₂）
• C、f（x₁）=f（x₂）
• D、f（x₁），f（x₂）大小不确定

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由（x-1）f′（x）＞0可判断函数y=f（x）在（1，+∞）上是增函数，在（-∞，1）上是减函数；再由函数的性质比较大小即可．

解答： 解：∵（x-1）f′（x）＞0，
∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0；
∴函数y=f（x）在（1，+∞）上是增函数，
在（-∞，1）上是减函数，
若1＜x₁＜x₂，则f（x₁）＜f（x₂）；
若x₁＜1＜x₂，则x₂＞2-x₁，
又∵x₁＜1，∴2-x₁＞1；
故f（2-x₁）＜f（x₂）；
又∵f（2-x₁）=f（x₁），
∴f（x₁）＜f（x₂）；
综上所述，f（x₁）＜f（x₂）；
故选A．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的性质综合应用，属于中档题．