Question

1．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别是a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（sinA-sinB，c），向量$\overrightarrow{n}$=（sinA-sinC，a+b），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$
（1）求角B的大小；
（2）设BC中点为D，且AD=$\sqrt{3}$，求a+2c的最大值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量共线的性质、正弦定理、余弦定理可得cosB的值，从而求得B的值．
（2）设∠BAD=θ，则在△BAD中，可知，利用正弦定理求得BD、AB的值，可得a+2c的值，再利用正弦函数的定义域和值域求得a+2c的最大值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（sinA-sinB，c），向量$\overrightarrow{n}$=（sinA-sinC，a+b），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴（a+b）（sinA-sinB）-c（sinA-sinC）=0，
根据正弦定理得∴（a+b）（a-b）-c（a-c）=0，
即a²-b²-ac+c²=0，
∴a²+c²-b²=ac，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）设∠BAD=θ，则在△BAD中，由B=$\frac{π}{3}$可知θ∈（0，$\frac{2π}{3}$），
由正弦定理及AD=$\sqrt{3}$有$\frac{BD}{sinθ}$=$\frac{AB}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$=$\frac{AD}{sin\frac{π}{3}}$=2，
∴BD=2sinθ，AB=2sin（$\frac{2π}{3}$-θ），
∴a=2BD=4sinθ，c=AB=$\sqrt{3}$cosθ+sinθ，
从而，a+2c=4sinθ+2$\sqrt{3}$cosθ+2sinθ=4$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{6}$），
∵θ∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴（θ+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）
∴当θ=$\frac{π}{3}$时，a+2c的最大值为4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理和余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．