题目内容
16．设f（x）=（x-2）2ex+ae-x，g（x）=2a|x-2|（e为自然对数的底数），若关于x方程f（x）=g（x）有且仅有6个不等的实数解．则实数a的取值范围是（ ）| A． | （$\frac{{e}^{2}}{2e-1}$，+∞） | B． | （e，+∞） | C． | （1，e） | D． | （1，$\frac{{e}^{2}}{2e-1}$） |
分析 f（x）=g（x），即（x-2）2ex+ae-x=2a|x-2|，利用二次方程根的分布研究方法，即可得出结论．
解答 解：f（x）=g（x），即（x-2）2ex+ae-x=2a|x-2|，
①x=2，a=0时，x=2为函数的零点，不合题意；
②x≠2，令t=|x-2|ex，则t2+a=2at，
x＞2，t=（x-2）ex，t′=（x-1）ex，在（2，+∞）上单调递增；
x＜2，t=（2-x）ex，t′=（1-x）ex，在（-∞，1）上单调递增，（1，2）上单调递减，
∵关于x方程f（x）=g（x）有且仅有6个不等的实数解，
∴t∈（0，e），
令y=t2-2at+a，则$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-4a＞0}\\{a＞0}\\{{e}^{2}-2ae+a＞0}\end{array}\right.$，∴1＜a＜$\frac{{e}^{2}}{2e-1}$．
故选D．
点评 本题考查方程根问题，考查导数知识的运用，正确转化是关键．
练习册系列答案
全能练考卷系列答案
相关题目
2．已知复数z=$\frac{4+i}{1+2i}$，则z在复平面上对应的点在第（ ）象限．
| A． | 一 | B． | 二 | C． | 三 | D． | 四 |
3．将函数y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，所得图象对应的函数（ ）
| A． | 在区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]上单调递增 | B． | 在区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]上单调递减 | ||
| C． | 在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上单调递增 | D． | 在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上单调递减 |
在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知$AB=AC=A{A_1}=\sqrt{5}，BC=4$，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
11．已知B（m，2b）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=l（a＞0，b＞0）的右支上一点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOB=60°，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
| A． | y=±$\frac{{\sqrt{10}}}{2}x$ | B． | y=±$\frac{{\sqrt{13}}}{2}x$ | C． | y=±$\frac{{\sqrt{15}}}{2}x$ | D． | y=±$\frac{{\sqrt{19}}}{2}x$ |
为把中国武汉大学办成开放式大学，今年樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文学院分别招募8名和12名志愿者从事兼职导游工作，将这20志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：厘米）若身高在175cm及其以上定义为“高个子”，否则定义为“非高个子”且只有文学院的“高个子”才能担任兼职导游．
8．已知集合A={x|x2-5x+6≤0}，集合B={x|2x＞4}，则集合A∩B=（ ）
| A． | {x|2≤x≤3} | B． | {x|2≤x＜3} | C． | {x|2＜x≤3} | D． | {x|2＜x＜3} |
在三棱锥S-ABC中，三条棱SA、SB、SC两两互相垂直，且SA=SB=SC=a，M是边BC的中点．
如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论，其中不正确的是（ ）