Question

已知数列{a_n}，如果数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n=a_n+a_n-1（n≥2，n∈N^*），则称数列{b_n}是数列{a_n}的“生成数列”．
（1）若数列{a_n}的通项为a_n=n，写出数列{a_n}的“生成数列”{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}的通项为c_n=2n+b（其中b是常数），试问数列{c_n}的“生成数列”{q_n}是否是等差数列，请说明理由；
（3）已知数列{d_n}的通项为d_n=2ⁿ+n，求数列{d_n}的“生成数列”{p_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n≥2时，b_n=a_n+a_n-1，即可得出；
（2）当b=0时，q_n=4n-2，此时数列{c_n}的“生成数列”{q_n}是等差数列，当b≠0时，由于q₁=c₁=2+b，q₂=6+2b，q₃=10+2b．此时q₂-q₁≠q₃-q₂，即可判断出“生成数列”{q_n}不是等差数列．
（3）p₁=d₁=3，n≥2时，p_n=d_n+d_n-1=2ⁿ+n+2^n-1+（n-1）=3×2^n-1+2n-1，利用等差数列与等比数列的前n选和公式即可得出．

解答： 解：（1）当n≥2时，b_n=a_n+a_n-1=2n-1，
当n=1时，b₁=a₁=1适合上式，
∴b_n=2n-1．
（2）当b=0时，q_n=4n-2，
由于q_n+1-q_n=4，
∴此时数列{c_n}的“生成数列”{q_n}是等差数列，
当b≠0时，由于q₁=c₁=2+b，q₂=6+2b，q₃=10+2b．
此时q₂-q₁≠q₃-q₂，
此时数列{c_n}的“生成数列”{q_n}不是等差数列．
（3）p₁=d₁=3，
n≥2时，p_n=d_n+d_n-1=2ⁿ+n+2^n-1+（n-1）=3×2^n-1+2n-1，
∴当n≥2时，数列{d_n}的“生成数列”{p_n}的前n项和T_n=3+

6(2n-1-1)

2-1

+

(n-1)(3+2n-1)

2

=3×2ⁿ+n²-4．
当n=1时也成立，
∴T_n=3×2ⁿ+n²-4．

点评：本题考查了新定义“生成数列”、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．