Question

10．已知函数f（x）=4-|x|-|x-3|
（Ⅰ）求不等式f（x+$\frac{3}{2}$）≥0的解集；
（Ⅱ）若p，q，r为正实数，且$\frac{1}{3p}$+$\frac{1}{2q}$+$\frac{1}{r}$=4，求3p+2q+r的最小值．

Answer 1

分析 （I）由题意，分类讨论，去掉绝对值，解不等式即可；
（Ⅱ）运用柯西不等式，可3p+2q+r的最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（x+$\frac{3}{2}$）≥0，即|x+$\frac{3}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|≤4，
x≤-$\frac{3}{2}$，不等式可化为-x-$\frac{3}{2}$-x+$\frac{3}{2}$≤4，∴x≥-2，∴-2≤x≤-$\frac{3}{2}$；
-$\frac{3}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$，不等式可化为x+$\frac{3}{2}$-x+$\frac{3}{2}$≤4恒成立；
x≥$\frac{3}{2}$，不等式可化为x+$\frac{3}{2}$+x-$\frac{3}{2}$≤4，∴x≤2，∴$\frac{3}{2}$≤x≤2，
综上所述，不等式的解集为[-2，2]；
（Ⅱ）∵（$\frac{1}{3p}$+$\frac{1}{2q}$+$\frac{1}{r}$）（3p+2q+r）≥（1+1+1）²=9，$\frac{1}{3p}$+$\frac{1}{2q}$+$\frac{1}{r}$=4
∴3p+2q+r≥$\frac{9}{4}$，∴3p+2q+r的最小值为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查不等式的解法，考查运用柯西不等式，考查运算和推理能力，属于中档题．