Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，平面PAD⊥底面ABCD，BC=$\frac{1}{2}$AD，PA=PD=AB=2，M，Q为AD，PC的中点
（Ⅰ）求证：CD∥平面MBQ；
 （Ⅱ）平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅲ）若直线PA与BC所成的角为60°，求直线MB与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （I）由Q为AD中点可知BC$\stackrel{∥}{=}$DQ，故而四边形BCDQ是平行四边形，于是CD∥BQ，得出CD∥平面MBQ；
（II）由∠ADC=90°得出四边形BCDQ为矩形，于是BQ⊥AD，利用面面垂直的性质得出BQ⊥平面PAD，从而有平面PQB⊥平面PAD；
（III）利用面面垂直得出PQ⊥平面ABCD，设BD，CQ交于点O，连结OM，则OM⊥平面ABCD，从而∠MBO为所求角，根据∠PAQ=60°依次计算PQ，OM，AQ，BQ，OB，得出tan∠MBO．

解答 证明：（I）∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵BQ?平面MBQ，CD?平面MQB，
∴CD∥平面MBQ
（II）∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（ III）∵PA=PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
连结CQ，BD交于点O，则O为CQ的中点，
∴OM∥PQ，∴MO⊥平面ABCD．
∴∠MBO是直线MB与底面ABCD所成角，
∵BC∥AD，∴∠PAQ为直线PA与BC所成的角，即∠PAQ=60°，
∵PA=2，∴PQ=$\sqrt{3}$，AQ=DQ=1，∴BQ=$\sqrt{A{B}^{2}-A{Q}^{2}}$=$\sqrt{3}$，OM=$\frac{1}{2}PQ$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BD=$\sqrt{B{Q}^{2}+D{Q}^{2}}$=2，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=1，
∴tan∠MBQ=$\frac{OM}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴直线MB与底面ABCD所成角的正切值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的性质与判定，空间角的计算，属于中档题．