Question

14．已知{a_n}是等差数列，满足a₁=3，a₄=12，数列{b_n}满足b₁=4，b₄=20，且{b_n-a_n}为等比数列．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；
（2）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意得
d=$\frac{{{a_4}-{a_1}}}{3}$=$\frac{12-3}{3}$=3．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3n（n=1，2，…）．
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=3n；
设等比数列{b_n-a_n}的公比为q，由题意得：
q³=$\frac{{{b_4}-{a_4}}}{{{b_1}-{a_1}}}$=$\frac{20-12}{4-3}$=8，解得q=2．
∴b_n-a_n=（b₁-a₁）q^n-1=2^n-1．
从而b_n=3n+2^n-1（n=1，2，…）．
∴数列{b_n}的通项公式为：b_n=3n+2^n-1；
（2）由（1）知b_n=3n+2^n-1（n=1，2，…）．
数列{3n}的前n项和为$\frac{3}{2}$n（n+1），数列{2^n-1}的前n项和为$\frac{{1-{2^n}}}{1-2}$=2ⁿ-1．
∴数列{b_n}的前n项和为$\frac{3}{2}$n（n+1）+2ⁿ-1．

点评 本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，考查了利用分组求和的方法求解数列的前n项和，是中档题．