Question

13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（α＞0，b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，|F₁F₂|=2$\sqrt{5}$，点P是双曲线右支上一点，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=10，在△PF₁F₂中，∠PF₁F₂的角平分线与另外两个角的外角平分线交于一点Q，Q点横坐标为4，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{3}$

Answer 1

分析 利用在△PF₁F₂中，∠PF₁F₂的角平分线与另外两个角的外角平分线交于一点Q，Q点横坐标为4，可得|PF₁|+|PF₂|=8，利用$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=10，可得|PF₁||PF₂|cos∠PF₁F₂=10，由余弦定理可得20=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠PF₁F₂，可得|PF₁|²+|PF₂|²=40，||PF₁|-|PF₂||=4=2a，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：设△PF₁F₂的旁切圆与PF₁，PF₂，F₁F₂，所在直线切于D，E，M，则DF₁=MF₁=4+c，MF₂=EF₂=4-c，PD=PE，
∴|PF₁|+|PF₂|=8，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=10，
∴|PF₁||PF₂|cos∠PF₁F₂=10，
由余弦定理可得20=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠PF₁F₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=40，
∴|PF₁||PF₂|=12，
∴||PF₁|-|PF₂||=4=2a，
∴a=2，
∵c=$\sqrt{5}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．