Question

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率都是

2

5

，每次遇到红灯时停留的时间都是1min．
（Ⅰ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2min的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间X的分布列及期望．

Answer 1

分析：（I）根据已知中学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率都是

2

5

，每次遇到红灯时停留的时间都是1min．若这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2min，共包括三种情况，一是没有遇到红灯，二是遇到一次，三是遇到二次，分别求出三种情况的概率，然后代入互斥事件概率加法公式即可得到答案．
（II）分别计算出X取值为0，1，2，3，4时的概率，即可得到随机变量X的分布列，代入数学期望公式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上因红灯停留的总时间至多是2min为事件B，这名学生上学路上因遇到红灯停留的总时间为X，则X～B（4，

2

5

）．
则由题意，得P（X=0）=（

3

5

）⁴=

81

625

，（2分）
P（X=1）=C₄¹（

3

5

）³•（

2

5

）¹=

216

625

，（4分）
P（X=2）=C₄²•（

3

5

）²•（

2

5

）²=

216

625

．（6分）
∴事件B的概率为P（B）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=

513

625

．（8分）
（Ⅱ）由题意，可得X可能取得的值为0，1，2，3，4（单位：min）．由题意X～B（4，

2

5

）
∴P（X=k）=C₄^k•（

3

5

）^4-k•（

2

5

）^k（k=0，1，2，3，4）．
∴即X的分布列是

X	0	1	2	3	4
P	81 625	216 625	216 625	96 625	16 625

∴X的期望是E（X）=4×

2

5

=

8

5

．（12分）

点评：本小题主要考查随机变量的分布列．二项分布．数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力．运算求解能力和应用意识，其中在计算至多（少）型事件的概率及计算随机变量的分布列时，准确的分类是解答的关键．