Question

10．表面积为24π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设圆柱的高为h、底面半径为r，根据圆柱的表面积S=24π，可得h=12-r²，构造V关于r的函数，利用导数求函数想最值，并求V取到最大值时rh的值，可得答案．

解答 解：设圆柱的高为h、底面半径为r，
则圆柱的表面积S=2πr²+2πrh=24π，即r²+rh=12⇒rh=12-r²，
∴V=πr²h=πr（12r²）=π（12r-r³），
V′=π（12-3r²）=0⇒r=2
∴函数V=πr²h=πr（12-r²）=π（12r-r³），在区间（0，2]上单调递增，在区间[2，+∞）上单调递减，
∴r=2时，V最大，
此时2h=12-4=8，即h=4，
∴$\frac{r}{h}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了圆柱的表面积公式与体积公式，考查了导数的应用及利用函数思想求最值，构造函数利用导数求函数的最值是解答本题的关键，一元三次函数求最值常用导数法．