Question

7．已知每项均大于零的数列{a_n}中，首项a₁=1且前n项和S_n满足S_n$\sqrt{{S}_{n-1}}$-S_n-1$\sqrt{{S}_{n}}$=2$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$（n∈N^*且n≥2），求数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}的通项公式．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，可得数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是以$\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}}=1$为首项，以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式得答案．

解答 解：由S_n$\sqrt{{S}_{n-1}}$-S_n-1$\sqrt{{S}_{n}}$=2$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$，
得$\frac{{S}_{n}\sqrt{{S}_{n-1}}}{\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}}-\frac{{S}_{n-1}\sqrt{{S}_{n}}}{\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}}=2$，
即$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}=2$（n≥2），
∴数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是以$\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}}=1$为首项，以2为公差的等差数列，
则$\sqrt{{S}_{n}}=1+2（n-1）=2n-1$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．