Question

6．球O与棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个面均相切，如图，用平平行于底面的平面截去长方体A₂B₂C₂D₂-A₁B₁C₁D₁，得到截面A₂B₂C₂D₂，且A₂A=$\frac{3}{4}$a，现随机向截面A₂B₂C₂D₂上撒一粒黄豆，则黄豆落在截面中的圆内的概率为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{3π}{16}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{3}{16}$

Answer 1

分析 求出截面中的圆的半径为$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{16}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，面积为$\frac{3π}{16}{a}^{2}$，截面A₂B₂C₂D₂的面积为a²，利用面积比可求概率．

解答 解：由题意，截面中的圆的半径为$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{16}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，面积为$\frac{3π}{16}{a}^{2}$，
∵截面A₂B₂C₂D₂的面积为a²，
∴黄豆落在截面中的圆内的概率为$\frac{3π}{16}$，
故选B．

点评 本题考查正方体的内切圆，考查面积的计算，正确求出截面中的圆的半径是关键．