Question

18．已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+$\frac{1}{2}$，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，给出下列说法：
①bc（b+c）＞8②ab（a+b）＞16$\sqrt{2}$③6≤abc≤12④12≤abc≤24
其中不正确的是②③④（填出所有符合要求的序号）．

Answer 1

分析 根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明即可得到结论．

解答 解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+$\frac{1}{2}$，
∴sin2A+sin2B=-sin2C+$\frac{1}{2}$，
∴sin2A+sin2B+sin2C=$\frac{1}{2}$，
∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B-C）=$\frac{1}{2}$，
2sinA（cos（B-C）-cos（B+C））=$\frac{1}{2}$，
化为2sinA[-2sinBsin（-C）]=$\frac{1}{2}$，
∴sinAsinBsinC=$\frac{1}{8}$．
设外接圆的半径为R，
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R，
由S=$\frac{1}{2}absinC$，及正弦定理得sinAsinBsinC=$\frac{S}{2{R}^{2}}$=$\frac{1}{8}$，
即R²=4S，
∵面积S满足1≤S≤2，
∴4≤R²≤8，即2≤R≤$2\sqrt{2}$，
由sinAsinBsinC=$\frac{1}{8}$可得$8≤abc≤16\sqrt{2}$，故③④错误，
bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，故①正确，
ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16$\sqrt{2}$，不一定正确，故②错误
故答案为：②③④．

点评 本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．