Question

已知矩阵A=（k≠0）的一个特征向量为=，矩阵A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．

（1）求实数a，k的值；

（2）求直线x+2y+1=0在矩阵A的对应变换下得到的图形方程．

 

Answer 1

（1）a=2，k=1．（2）x+3y+2=0．

【解析】

试题分析：（1）利用特征值与特征向量的定义，可求a；利用A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1），可求k的值．

（2）利用矩阵变换，确定坐标之间的关系，即可得到在A对应的变换作用下的新曲线的方程．

【解析】
设特征向量为=，对应的特征值为λ，则=λ，即 因为k≠0，所以a=2．

因为A﹣1=，所以A=，所以2+k=3，解得k=1．

综上，a=2，k=1．

（2）设直线x+2y+1=0上任一点P（x，y）在A对应的变换作用下对应点P'（x'，y'），

∴=，

∴，

代入x+2y+1=0，化简可得x′+3y′+2=0，

∴得到的图形方程为x+3y+2=0．