Question

18．函数f（x）=（k-2）x²+2kx-3．
（Ⅰ）当k=4时，求f（x）在区间（-4，1）上的值域；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上至少有一个零点，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二次函数的性质求出函数在（-4，1）的值域即可；
（Ⅱ）通过讨论k的范围，集合二次函数的性质，确定k的范围即可；
（Ⅲ）通过讨论k的范围，判断函数的单调性，从而确定k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当k=4时，f（x）=2x²+8x-3=2（x+2）²-11，
f（x）的对称轴是x=-2，f（x）在（-4，-2）递减，在（-2，1）递增，
所以f（x）_min=f（2）=-11，f（x）_max=f（1）=7，
所以f（x）的值域为[-11，7）-----------------------（3分）
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上至少有一个零点，可分为以下三种情况：
①若k-2＞0即k＞2时，f（x）=（k-2）x²+2kx-3的对称轴方程为$x=\frac{k}{2-k}＜0$，
又f（0）=-3＜0，由图象可知f（x）在（0，+∞）上必有一个零点；----------------------（4分）
②若k-2=0即k=2时，f（x）=4x-3，令f（x）=0得$x=\frac{3}{4}＞0$，
知f（x）在（0，+∞）上必有一个零点$\frac{3}{4}$；----------------------（5分）
③若k-2＜0即k＜2时，要使函数f（x）在（0，+∞）上至少有一个零点，
则需要满足$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{2k}{2-k}＞0}\\{△=4{k^2}+12（k-2）≥0}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{0＜k＜2}\\{k≥\frac{{-3+\sqrt{33}}}{2}或k≤\frac{{-3-\sqrt{33}}}{2}}\end{array}}\right.$，
所以$\frac{{-3+\sqrt{33}}}{2}≤k＜2$--------------------（7分）
综上可知，若函数f（x）在（0，+∞）上至少有一个零点，k的取值范围为$[\frac{{-3+\sqrt{33}}}{2}，+∞）$----------------------（8分）
（ III）①当k=2时，f（x）=4x-3在区间[1，2]上单增，所以k=2成立；-------（9分）
②当k＞2时，∵f（0）=-3＜0，显然在f（x）在区间[1，2]上单增，所以k＞2也成立；
--------------------（10分）
③当k＜2时，∵f（0）=-3，∴必有$\frac{k}{2-k}≥2$成立，解得$\frac{4}{3}≤k＜2$．---------------（11分）
综上k的取值范围为$[\frac{4}{3}，+∞）$----------------------（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．