Question

设函数，其中

（1）若，求在上的最值；

（2）若在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；

（3）当时，令，试证：恒成立.

 

Answer 1

（1）参考解析，（2）（3）参考解析

【解析】

试题分析：（1）当时，对函数求导，在定义域内根据导函数的正负性可得到函数的单调性，即可求得函数的最值.

（2）由函数在定义域内既有极大值又有极小值，即导函数的值为零时的根在上有两个不等的实数解.再根据区间根的运算即可得到结论.

（3）当时，对求导即可得到， 即，所以当恒成立，由题意要证，其中的变量为正数，所以当时，函数是单调递增的.再通过令.，以及即可得到结论.

试题解析：（1）由题意知，的定义域为，

时，由

得 2分

当时，，

，单调递减，当时，单调递增.

所以

又因为

所以

所以，

（2）依题意，在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根， 6分

设，则，解得 8分

（3）=，

显然，当时，所以在上单调递增，

所以，当时，恒成立. 10分

令，则有 12分

考点：1.利用导数求函数的最值.2.函数的极值.3.函数与不等式的关系.4.构建函数的数学思想.