Question

考虑以下数列a_n，n∈N^*：①a_n=n²+n+1；②a_n=2n+1；③an=ln

n

n+1

．其中满足性质“对任意正整数n，

an+2+an

2

≤an+1都成立”的数列有______（写出满足条件的所有序号）；若数列a_n满足上述性质，且a₁=1，a₂₀=58，则a₁₀的最小值为______．

Answer 1

①an=n²+n+1 中

an+2+an

2

=n2+3n+4
a_n+1=n²+3n+3

an+2+an

2

＞an+1
②an=2n+1中

an+2+an

2

=2n+3
a_n+1=2n+3

an+2+an

2

=an+1
③an=ln

n

n+1

，

an+2+an

2

=

ln( n+2 n+3 • n n+1 )

2

=

ln n2+2n n2+4n+3

2

，
an+1=ln(

n+1

n+2

)，2an+1=2ln(

n+1

n+2

)=ln(

n2+2n+1

n2+4n+4

)，
计算得

an+2+an

2

＜an+1
当数列为等差数列时取等号，取得最小值
所以：a₁=1，a₂₀=a₁+（n-1）d=58
∴d=3
∴a₁₀=a₁+9d=28
∴a₁₀的最小值为：28
故答案为：②③；28