Question

17．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=x+m与椭圆C有交点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），a+c=3，a-c=1，b²=a²-c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，整理得：7x²+8mx+4（m²-3）=0，由题意可知△≥0，即可求得m的取值范围．

解答 解：（1）由题意设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由已知得：a+c=3，a-c=1，
∴a=2，c=1
∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）将直线方程代入椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
整理得：7x²+8mx+4（m²-3）=0，
由直线l：y=x+m与椭圆C有交点，
∴△≥0，即64m²-16×7×（m²-3）≥0，整理得：m²≤7，
解得：-$\sqrt{7}$≤m≤$\sqrt{7}$，
∴m的取值范围[-$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$]．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．