题目内容
已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，过点（3，5）作两条相互垂直的弦AC和BD，则四边形ABCD的最大面积为 ．
考点：直线与圆的位置关系
专题：直线与圆
分析：圆心T（3，4）到AC、BD的距离分别为PE、PF，则TE2+TF2=TP2=1，根据四边形ABCD的面积为：
AC•BD=2
•
，再利用基本不等式求得四边形ABCD的最大面积．
| 1 |
| 2 |
| 25-TE2 |
| 25-TF2 |
解答：
解：圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，即 （x-3）2+（y-4）2=25，设点P（3，5），
圆心T（3，4）到AC、BD的距离分别为PE、PF，则TE2+TF2=TP2=1，
四边形ABCD的面积为：
AC•BD=
•2
•2
=2
•
≤25+25-（TE2+TF2）=50-1=49，
当且仅当TE2=TF2 时，取等号，
即四边形ABCD的最大面积为49，
故答案为：49．
解：圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，即 （x-3）2+（y-4）2=25，设点P（3，5），圆心T（3，4）到AC、BD的距离分别为PE、PF，则TE2+TF2=TP2=1，
四边形ABCD的面积为：
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| TC2-PE2 |
| TD2-TF2 |
| 25-TE2 |
| 25-TF2 |
当且仅当TE2=TF2 时，取等号，
即四边形ABCD的最大面积为49，
故答案为：49．
点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，属于基础题．
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| ||
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| ||
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| ||
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