Question

已知函数f（x）=

sin2x- 3 cos2x+ 3

sinx

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求使得不等式f（x）≤-2成立的x的取值集合．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=4sin（x+

π

6

）（x≠kπ），根据三角函数的周期性及其求法可得最小正周期为2π；
（Ⅱ）由已知得sin（x+

π

6

）≤-

1

2

，故可求（2k+1）π≤x≤2kπ+

5π

3

（k∈Z）．

解答： 解：（Ⅰ）sinx≠0，x≠kπ（k∈Z）
f（x）=

2sinxcosx- 3 (1-2sin2x)+ 3

sinx

=2cosx+2

3

sinx
=4sin（x+

π

6

）（x≠kπ）
∴最小正周期为2π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）4sin（x+

π

6

）≤-2，∴sin（x+

π

6

）≤-

1

2

2kπ+

7π

6

≤x+

π

6

≤2kπ+

11π

6

∴（2k+1）π≤x≤2kπ+

5π

3

（k∈Z）
又有x≠kπ
∴解集为（2kπ+π，2kπ+

5π

3

]（k∈Z）

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，属于基础题．