Question

7．若函数f（x）满足：?x∈R，f（2x）=sinx+f（x），且f（1）=1，则（　　）

• A． f（$\frac{1}{{2}^{2016}}$）＜$\frac{1}{{2}^{2016}}$
• B． f（$\frac{1}{{2}^{2015}}$）＜$\frac{1}{{2}^{2016}}$
• C． f（$\frac{1}{{2}^{2014}}$）＜$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{{2}^{2016}}$
• D． f（$\frac{1}{{2}^{2013}}$）＞$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{{2}^{2015}}$

Answer 1

分析 运用递推思想得出f（$\frac{1}{{2}^{2016}}$）=sin（$\frac{1}{{2}^{2017}}$）+sin（$\frac{1}{{2}^{2018}}$）+…+sin（$\frac{1}{{2}^{n}}$）．n→+∞，
再放缩得出f（$\frac{1}{{2}^{2016}}$）＜$\frac{1}{{2}^{2017}}$+$\frac{1}{{2}^{2018}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$．n→+∞，运用数列求和，极限求解．

解答 解：∵函数f（x）满足：?x∈R，f（2x）=sinx+f（x），
∴f（1）=sin$\frac{1}{2}$+f（$\frac{1}{2}$），
f（$\frac{1}{2}$）=sin$\frac{1}{4}$+f（$\frac{1}{4}$），
f（$\frac{1}{4}$）=sin$\frac{1}{8}$+f（$\frac{1}{8}$），
…
f（$\frac{1}{{2}^{2016}}$）=sin（$\frac{1}{{2}^{2017}}$）+f（$\frac{1}{{2}^{2017}}$）．
∴f（$\frac{1}{{2}^{2016}}$）=sin（$\frac{1}{{2}^{2017}}$）+sin（$\frac{1}{{2}^{2018}}$）+…+sin（$\frac{1}{{2}^{n}}$）．n→+∞，

∵当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，

∴根据三角函数线，弧度数得出：MP＜$\widehat{PT}$
sinx＜x
∴f（$\frac{1}{{2}^{2016}}$）＜$\frac{1}{{2}^{2017}}$+$\frac{1}{{2}^{2018}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$．n→+∞，

∵$\frac{1}{{2}^{2017}}$+$\frac{1}{{2}^{2018}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{{2}^{2017}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{{2}^{2016}}$，n→+∞，
∴f（$\frac{1}{{2}^{2016}}$）＜$\frac{1}{{2}^{2016}}$
故选：A

点评 本题考查了数列的函数思想，数列的极限运算，关键利用三角函数放缩求解，属于中档题．