Question

7．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{b}{x}$+c（b，c是常数）和g（x）=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{x}$都是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对于任意的x∈M，存在x₀∈M，使得f（x）≥f（x₀）且g（x）≥g（x₀）且f（x₀）=g（x₀），求f（x）在集合M上的最大值．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）_min=f（x₀），g（x）_min=g（x₀），利用基本不等式求出g（x）的最小值，得到x₀=2，f（x₀）=g（x₀）=1，再由f（2）=1得到一个关于b，c的方程，由f'（2）=0求导b值，进一步得到c值，则函数f（x）的解析式可求，求出f（1）和 f（4）的值得答案．

解答 解：由题可知，f（x）_min=f（x₀），g（x）_min=g（x₀）------------------------（1分）
$g（x）=\frac{1}{4}x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{\frac{1}{4}x•\frac{1}{x}}=1$-----------------------------------------------------------（2分）
当且仅当$\frac{1}{4}x=\frac{1}{x}$且1≤x≤4即x=2时取“=”，
∴x₀=2，f（x₀）=g（x₀）=1---------------------------------------------------------（4分）
由f（2）=1，得$\frac{1}{2}•{2^2}+\frac{b}{2}+c=1$，即$1+\frac{b}{2}+c=0$---------（1）
f（x）_min=f（2）=1，得x=2是f（x）的一个极值点，
∴f'（2）=0------------（6分）
$f'（x）=x-\frac{b}{x^2}$，得$f'（2）=2-\frac{b}{2^2}=2-\frac{b}{4}=0$，
∴b=8-----------------------------------------------------------------------------------------------（8分）
代入（1），得c=-5------------------------------------------------------------------------------（9分）
∴$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+\frac{8}{x}-5$，（1≤x≤4）-----------------------------------------------------（10分）
f（x）_max=Max{f（1），f（4）}，
∴$f（1）=\frac{1}{2}•{1^2}+\frac{8}{1}-5=\frac{7}{2}$＜$f（4）=\frac{1}{2}•{4^2}+\frac{8}{4}-5=5$．
故f（x）的最大值是5-------------------------------------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．