Question

已知函数f（x）=sin²x+

3

sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x[-

π

12

，

π

12

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）将函数y=sin²x+sinxcosx化简为正弦型函数的形式，然后根据正弦型函数求周期的方法易得答案．
（Ⅱ）先求出2x-

π

6

的范围，再根据三角函数值求出值域．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=sin2x+

3

sinxcosx=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
∴T=

2π

2

=π，
故f（x）的最小正周期为π．
（Ⅱ）∵x∈[-

π

12

，

π

12

]，
∴-

π

3

≤2x-

π

6

≤0，
∴-

3

2

≤sin(2x-

π

6

)≤0
∴

1

2

-

3

2

≤f(x)≤

1

2

，
即f（x）的值域为[

1

2

-

3

2

，

1

2

]

点评：本题考查三角函数的化简，二倍角公式与两角和的正弦函数的应用，考查三角函数的周期性及其求法，计算能力．