Question

已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a²+2b²+3c²=4，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由4-a²=（2b²+3c²）×1=

6

5

（2b²+3c²）（

1

2

+

1

3

）≥

6

5

（b+c）²=

6

5

（a-2）²，得到关于a的不等关系：20-5a²≥6（a²-4a+4）解之即得a的取值范围．

解答： 解：由4-a²=（2b²+3c²）×1=

6

5

（2b²+3c²）（

1

2

+

1

3

）≥

6

5

（b+c）²=

6

5

（a-2）²，
∴20-5a²≥6（a²-4a+4）
∴11a²-24a+4≤0，
∴

2

11

≤a≤2．

点评：此题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到柯西不等式和基本不等式的应用问题，有一定的技巧性．