Question

19．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（2）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，求几何体ABD-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （1）连接A₁C，交AC₁于点E，连接DE，则DE∥A₁B．由此能证明A₁B∥平面ADC₁．
（2）几何体ABD-A₁B₁C₁的体积V=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-${V}_{{C}_{1}-ADC}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）连接A₁C，交AC₁于点E，
则点E是A₁C及AC₁的中点．
连接DE，则DE∥A₁B．
因为DE?平面ADC₁，所以A₁B∥平面ADC₁．
解：（2）∵AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，
∴几何体ABD-A₁B₁C₁的体积：
V=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-${V}_{{C}_{1}-ADC}$
=S_△ABC×AA₁-$\frac{1}{3}{S}_{△ADC}×A{A}_{1}$
=$\frac{1}{2}×1×1×2$-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（\frac{1}{2}×1×1）×2$
=1-$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．