Question

若不等式(-1)na＜2+

(-1)n+1

n

对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：要使不等式(-1)na＜2+

(-1)n+1

n

对于任意正整数n恒成立，即要(-1)na-

(-1)n+1

n

＜2，(-1)na-

(-1)n+1

n

为两项-a-

1

n

和a+

1

n

求出(-1)na-

(-1)n+1

n

的最大值要小于2，列出不等式求出a的范围即可．

解答：解：由(-1)na＜2+

(-1)n+1

n

得：(-1)na-

(-1)n+1

n

＜2，
而f（n）=(-1)na-

(-1)n+1

n

，
当n取奇数时，f（n）=-a-

1

n

；当n取偶数时，f（n）=a+

1

n

．
所以f（n）只有两个值，当-a-

1

n

＜a+

1

n

时，f（n）_max=a+

1

n

，即a+

1

n

＜2，得到a＜

3

2

；
当-a-

1

n

≥a+

1

n

时，即-a-

1

n

≤2，得a≥-2，
所以a的取值范围为-2≤a＜

3

2

．
故答案为：-2≤a＜

3

2

点评：考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，利用分类讨论的数学思想解决数学问题的能力．