Question

6．已知动点P（x，y）在双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的渐近线向左平移一个单位所得直线和x-y+3=0围成的区域内（含边界），则z=$\frac{x+2y-4}{x-2}$的范围为（　　）

• A． [$\frac{9}{11}$，$\frac{5}{3}$]
• B． [-5，$\frac{5}{3}$]
• C． [-5，$\frac{9}{11}$]
• D． [-3，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，可得平移后的方程，分别作出直线y=±2（x+1），直线y=x+3，可得三角形的区域，化简z=1+2$•\frac{y-1}{x-2}$，$\frac{y-1}{x-2}$表示点（x，y）与P（2，1）的斜率，求出交点A，B，C，以及直线PA，PB，PC的斜率，由图象即可得到所求最值，进而得到所求范围．

解答 解：双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的渐近线方程为y=±2x，
向左平移2个单位，可得y=±2（x+1），
作出直线y=±2（x+1），直线y=x+3，可得三角形的区域，如右图．
z=$\frac{x+2y-4}{x-2}$=$\frac{（x-2）+2（y-1）}{x-2}$=1+2$•\frac{y-1}{x-2}$，
$\frac{y-1}{x-2}$表示点（x，y）与P（2，1）的斜率，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$解得A（1，4），由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-2x-2}\end{array}\right.$可得B（-$\frac{5}{3}$，$\frac{4}{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=-2x-2}\end{array}\right.$可得C（-1，0），
由k_PC=$\frac{1-0}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，k_PB=$\frac{1-\frac{4}{3}}{2+\frac{5}{3}}$=-$\frac{1}{11}$，k_PA=$\frac{1-4}{2-1}$=-3．
可得$\frac{y-1}{x-2}$的最小值为-3，最大值为$\frac{1}{3}$，
可得z的最小值为-5，最大值为$\frac{5}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查给定平面区域的最值的求法，注意运用两点的斜率公式，运用数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．