Question

13．已知函数$f（x）=x+\frac{a}{x}+lnx$在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围为（-∞，2）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为a＜x²+x在（1，2）恒成立，令g（x）=x²+x，x∈（1，2），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
若f（x）在（1，2）递增，
则x²+x-a＞0在（1，2）成立，
即a＜x²+x在（1，2）恒成立，
令g（x）=x²+x，x∈（1，2），
则g′（x）=2x+1＞0，
则g（x）在（1，2）递增，
故g（x）_min=g（1）=2，
故a＜2，
故答案为：（-∞，2）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．