Question

10．已知f（x）为R上增函数，且对任意x∈R，都有f[f（x）-3^x]=4，则f（log₃9）=10．

Answer 1

分析 根据题意可得f（x）-3^x是常数，设f（x）-3^x=m，所以f（m）=4，f（x）=3^x+m，故f（m）=3^m+m=4，容易知道该方程有唯一解，m=1，所以f（x）=3^x+1，由此求得f（log₃5）的值．

解答 解：f（x）为R上增函数，且对任意x∈R，都有f[f（x）-3^x]=4，
则f（x）-3^x为常数，设f（x）-3^x=m，则f（m）=4，且f（x）=3^x+m；
∴3^m+m=4，易知该方程有唯一解，m=1；
∴f（x）=3^x+1；
∴f（log₃9）=9+1=10，即f（log₃9）=10，
故答案为：10．

点评 本题主要考查求函数的解析式的方法，对于单调函数，当自变量的值是变量时，函数值也是变量，考查单调函数零点的情况，属于中档题．