Question

5．已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x-1）的图象关于（1，0）点对称，且当x≥0时恒有f（x-$\frac{3}{2}$）=f（x+$\frac{1}{2}$），当x∈[0，2）时，f（x）=e^x-1，则f（2016）+f（-2015）=（　　）

• A． 1-e
• B． e-1
• C． -1-e
• D． e+1

Answer 1

分析 根据图象的平移可知y=f（x）的图象关于（0，0）点对称，可得函数为奇函数，由题意可知当x≥0时，函数为周期为2的周期函数，可得f（2016）+f（-2015）=f（0）-f（1），求解即可．

解答 解：∵y=f（x-1）的图象关于（1，0）点对称，
∴y=f（x）的图象关于（0，0）点对称，
∴函数为奇函数，
∵当x≥0时恒有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=e^x-1，
∴f（2016）+f（-2015）
=f（2016）-f（2015）
=f（0）-f（1）
=0-（e-1）
=1-e，
故选：A

点评 本题主要考查了函数图象的平移，奇函数的性质和函数的周期性．难点是对知识的综合应用．