Question

已知数列{}满足＝2，对于任意的n∈N都有＞0，且　　　　    (n＋1)．又知数列

　　

(Ⅰ)求数列；

(Ⅱ)求数列；

(Ⅲ)猜想的大小关系，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵＞0(n∈N)，(n＋1)＋＝0， 　　∴(n＋1)－n＝0． 　　∴．∵＞0，∴． 　　 　　∴ 　　 　　∴ 　　∴又＝2，∴＝2n． 　　∴＝2(1＋2＋3＋＋…＋n) 　　    ＝． 　　(Ⅱ)∵＋1， 　　∴＋n 　　　　 ＝＋n 　　　　 ＝＋n－1． 　　(Ⅲ)． 　　当n＝1时，＝0，∴； 　　当n＝2时，－1＝－1＜0，∴； 　　当n＝3时，－1＝－2＜0，∴； 　　当n＝4时，－1＝－1＜0，∴； 　　当n＝5时，－1＝6＞0，∴； 　　当n＝6时，－1＝27＞0，∴； 　　猜想，当n≥5时，． 　　即－1＞0．亦即＋1． 　　下面用数学归纳法证明： 　　当n＝5时，前面已验证成立； 　　假设n＝k(k≥5)时，＋1成立，那么当n＝k＋1(k≥5)时， 　　＋2 　　    ≥＋5k＋2 　　    ＞＋2k＋2 　　    ＝＋1． 　　∴当n＝k＋1(k≥5)时，＋1也成立． 　　由以上可知，当n≥5时，有；当n＝1时，； 　　当2≤n＜5时，．