Question

已知二次函数（R）．

（1）解不等式；

（2）函数在上有零点，求的取值范围．

 

Answer 1

（1）时，解集为R；或时，解集为；或时，解集为；（2）。

【解析】

试题分析：（1）这是一道含参数一元二次不等式问题，因为判别式含有参数，需要对进行分类讨论；

（2）思路一：函数在上有零点，即函数图像在区间上与轴有交点，然后就交点的个数分类讨论。思路二：函数在上有零点，即方程

有根，可化为，然后对进行讨论，不为零时，可化为，然后构造函数，转化为求该函数在上的最值问题。

试题解析：（1）方程的判别式，

当时，，不等式的解集为R；

当或时，，不等式的解集为；

当或时，，

不等式的解集为． 6分

（2）法1：当时，在上有一个零点0；

当时，在上有一个零点-1；

当时，考虑到，对称轴，则有，得，

所以；

时，考虑到，对称轴，则有，得，

所以．

综上，的取值范围为． 16分

法2：由，得①，

对于，，则，，变为②

若，则②不成立，故可得，．

令，则．

当时，，单调递减；当时，，单调递减；

当时，，单调递增．所以的值域为．

的取值范围为． 16分

考点：（1）含参数一元二次不等式的解法；（2）一元二次方程根的分布问题；（3）构造函数及分类讨论思想的应用。