Question

17．已知圆O的方程为x²+y²=5．
（1）P是直线y=$\frac{1}{2}$x-5上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，求证：直线CD过定点；
（2）若EF、GH为圆O的两条互相垂直的弦，垂足为M（1，1），求四边形EGFH面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设P的坐标，写出以OP为直径的圆的方程，与圆方程联立即可求得直线CD的方程，结合P在直线y=$\frac{1}{2}$x-5，利用线系方程证明直线CD过定点；
（2）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d₁、d₂，则$d_1^2+d_2^2=O{M^2}=2$且$|EF|=2\sqrt{5-d_1^2}，|GH|=2\sqrt{5-d_2^2}$，代入四边形面积公式，利用基本不等式求得四边形EGFH面积的最大值．

解答 （1）证明：设P（x₀，y₀），则${y_0}=\frac{1}{2}{x_0}-5$，
由题意，OCPD四点共圆，且直径是OP，
其方程为${（x-\frac{x_0}{2}）^2}+{（y-\frac{y_0}{2}）^2}={（\frac{x_0}{2}）^2}+{（\frac{y_0}{2}）^2}$，即x²+y²-x₀x-y₀y=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-{x_0}x-{y_0}y=0\\{x^2}+{y^2}=5\end{array}\right.$，得：x₀x+y₀y=5．
∴直线CD的方程为：x₀x+y₀y=5．
又${y_0}=\frac{1}{2}{x_0}-5$，∴${x_0}x+（\frac{1}{2}{x_0}-5）y=5$，即（2x+y）x₀-10（y+1）=0．
由$\left\{\begin{array}{l}2x+y=0\\ y+1=0\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=-1\end{array}\right.$．
∴直线CD过定点$（\frac{1}{2}，-1）$；
（2）解：设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d₁、d₂，则$d_1^2+d_2^2=O{M^2}=2$．
∴$|EF|=2\sqrt{5-d_1^2}，|GH|=2\sqrt{5-d_2^2}$，
故${S_{EGFH}}=\frac{1}{2}|EF||GH|=2\sqrt{（5-d_1^2）（5-d_2^2）}$$≤（5-d_1^2）+（5-d_2^2）=10-（d_1^2+d_2^2）=8$．
当且仅当$5-d_1^2=5-d_2^2$，即d₁=d₂=1时等号成立．
∴四边形EGFH面积的最大值为8．

点评 本题考查圆的标准方程，考查了直线与圆、圆与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．