Question

14．设函数f（x）=2x+log₃$\frac{x-1}{1-ax}$为奇函数，a为常数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性，并写出单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$f（x）=2x+{log_3}\frac{x-1}{1-ax}$为奇函数，可得f（-x）+f（x）=0对定义域内的任意x都成立，即可求实数a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$f（x）=2x+{log_3}\frac{x-1}{x+1}$，则函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），即可讨论函数f（x）的单调性，并写出单调区间．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2x+{log_3}\frac{x-1}{1-ax}$为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0对定义域内的任意x都成立．
即$-2x+{log_3}\frac{-x-1}{1+ax}+2x+{log_3}\frac{x-1}{1-ax}=0$对定义域内的任意x都成立．…（2分）
∴${log_3}\frac{-x-1}{1+ax}=-{log_3}\frac{x-1}{1-ax}$，∴$\frac{-x-1}{1+ax}=\frac{1-ax}{x-1}$，
∴1-x²=1-a²x²，∴a²=1，…（3分）
解得a=-1或a=1（舍去），所以a=-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$f（x）=2x+{log_3}\frac{x-1}{x+1}$，则函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．…（7分）
任取x₁，x₂∈（1，+∞），设x₁＜x₂，则$\frac{{{x_1}-1}}{{{x_1}+1}}-\frac{{{x_2}-1}}{{{x_2}+1}}=\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}＜0$，…（9分）
∴函数$y={log_3}\frac{x-1}{x+1}$为增函数，∴y=f（x）在（1，+∞）上为增函数，…（10分）
同理函数f（x）在（-∞，-1）也为增函数．…（11分）
所以函数f（x）的单调增区间为（1，+∞），（-∞，-1）．…（12分）

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．