Question

18．已知P，A，B，C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P-ABC的体积为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． $\frac{32}{3}$π
• C． 16π
• D． 12π

Answer 1

分析 设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，由已知条件推导出a=$\frac{3}{4}$R，再由三棱锥P-ABC的体积为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，求出R=2，由此能求出球O的表面积．

解答 解：如图，P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，
设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，
∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，
OB=OP=R，
∴OS=$\frac{R}{2}$，BS=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，解得a=$\frac{3}{4}$R，2a=$\frac{3}{2}$R，
∵三棱锥P-ABC的体积为 $\frac{9\sqrt{3}}{4}$，∴$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$R×$\frac{3}{2}$Rsin60°×$\frac{3}{2}$R=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
解得R=2，
∴球O的表面积S=4πR²=16π．
故选：C．

点评 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时确定球O的半径是关键．