Question

16．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且c•cosA+a•cosC=2b•cosA．
（Ⅰ）求cosA；
（Ⅱ）若$a=\sqrt{7}$，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理、和差公式与诱导公式即可得出．
（Ⅱ）利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理得：c=2rsinC，a=2rsinA，b=2rsinB（其中r为外接圆半径）．…（1分）
代入c•cosA+a•cosC=2b•cosA得：sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA
即：sin（A+C）=2sinBcosA⇒sin（π-B）=2sinBcosA．…（3分）∴sinB=2sinBcosA，…（4分）∵B∈（0，π）∴sinB≠0．∴$cosA=\frac{1}{2}$．…（5分）
（Ⅱ）由余弦定理${（\sqrt{7}）^2}={b^2}+{c^2}-2bc•\frac{1}{2}$，即（b+c）²-3bc=7…（7分）
上式代入b+c=4得bc=3．…（8分）∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}bc\sqrt{1-{{cos}^2}A}=\frac{1}{2}×3×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．
所以△ABC的面积是$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．…（10分）

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式及其诱导公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．