Question

9．双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为$\sqrt{2}$，且一个顶点是函数y=lnx在（1，0）处的切线与y轴交点，则双曲线的标准方程为y²-x²=1．

Answer 1

分析 求出切线方程，求出双曲线的顶点坐标，利用离心率转化求解即可．

解答 解：函数y=lnx可得y′=$\frac{1}{x}$，在（1，0）处的切线的斜率为1，切线方程为：y=x-1，与y轴交点（0，-1），
双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为$\sqrt{2}$，
由题意一个顶点是函数y=lnx在（1，0）处的切线与y轴交点可得a=1，c=$\sqrt{2}$，则b=1，
所求的双曲线方程为：y²-x²=1．
故答案为：y²-x²=1．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．