题目内容
3．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$与椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|-|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$则动点P的轨迹为椭圆．其中正确的个数是（ ）
| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
分析 对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
解答 解：①双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的焦点坐标为（±5，0），
椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$的焦点坐标为（±5，0），
所以双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$与椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有相同的焦点，正确；
②不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．
设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．
而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．
又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=$\frac{|PF|+|QF|}{2}$，
由抛物线的定义可得：$\frac{|PF|+|QF|}{2}$=$\frac{|PQ|}{2}$=半径．
所以圆心M到准线的距离等于半径，
所以圆与准线是相切，正确．
③平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，
当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，所以不正确；
④设定圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，点A（m，n），P（x，y），
由$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$则可知P为AB的中点，则B（2x-m，2y-n），
因为AB为圆的动弦，所以B在已知圆上，
把B的坐标代入圆x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆，
当B与A重合时AB不是弦，所以点A除外，所以不正确．
故选B．
点评 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆与双曲线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．
| A． | a≤4 | B． | a≤5 | C． | a≤2$\sqrt{2}$ | D． | a≤1 |