Question

点P（4，3），圆C：(x-m)²+y²=3(m＜3)与椭圆E：有一个公共点A（2，），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切，M，N为椭圆上异于A的两点，
(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程；
(Ⅱ)若直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率为；
(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下△AMN面积是否存在最大值；若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)点A代入圆C方程，得（2-m）²+2=3，
∵m＜3，
∴m=1，圆C：，
设直线PF₁的斜率为k，则PF₁：，
即，
∵直线PF₁圆C相切，
∴，解得或，
当时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去；
当时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为-2，
∴c=2，，
，
∴椭圆E的方程为。
(Ⅱ)记A(s，t)，令直线AM的斜率为k，
那么直线AM的方程为y-t=k(x-s)，
记M，N两点坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，
由得，
，①
s，x₁是方程①的两根，所以有，
∴，
同理可得：，
∴，
∴。
(Ⅲ)不妨设直线MN的方程为，
由得，②
x₁，x₂是方程②的两根，所以有，
∴△AMN面积，
∴
，
所以，当m²=4即m=2或m=-2时，S_△AMN取得最大值2。