Question

已知数列｛ａ_ｎ｝满足Ｓ_ｎ＋ａ_ｎ＝2ｎ＋1，其中Ｓ_ｎ是｛ａ_ｎ｝的前ｎ项和．
　　（1）求ａ₁，ａ₂，ａ₃；
　　（2）猜想｛ａ_ｎ｝的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

已知数列｛ａ_ｎ｝满足Ｓ_ｎ＋ａ_ｎ＝2ｎ＋1，其中Ｓ_ｎ是｛ａ_ｎ｝的前ｎ项和．
　　（1）求ａ₁，ａ₂，ａ₃；
　　（2）猜想｛ａ_ｎ｝的通项公式，并用数学归纳法证明．
（1）当ｎ＝1时，有ａ_１＋Ｓ_１＝3，即ａ_１＝（3／2）；?
　　当ｎ≥2时，Ｓ_ｎ＋ａ_ｎ＝2ｎ＋1，　　　　　①
　　则　?Ｓ_ｎ＋１＋ａ_ｎ＋１＝2ｎ＋3．　　　　　②
　　②－①得（Ｓ_ｎ＋１－Ｓ_ｎ）＋ａ_ｎ＋１－ａ_ｎ＝2，
　　∴　ａ_ｎ＋１＝（1／2）ａ_ｎ＋1．
　　由此得ａ_２＝（7／4），ａ_３＝（15／8）．
　　（2）猜想：ａ_ｎ＝（2·2^ｎ－1）／2^ｎ＝2－（1／2^ｎ）　（ｎ∈Ｎ+），证明略．