Question

将圆x²+y²+2x-2y=0按向量

a

=（-1，1）平移得到⊙O₁，直线l与⊙O₁相交于A、B两点，若在⊙O₁上存在点C，使

OC

+

OA

+

OB

=0，且

OC

=λ

a

，求直线l的方程及△OAB的面积．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由已知条件可求出⊙O₁的方程：x²+y²=2，由

OC

+

OA

+

OB

=0可求得

OC

•

AB

=-(

OA

+

OB

)•(

OB

-

OA

)=0，所以得出OC⊥AB，而由

OC

=λ(-1，1)可知直线OC的斜率为-1，所以直线l的斜率为1，所以可设出直线l的方程：y=x+m，AB中点为D，则根据

OC

=-(

OA

+

OB

)=-2

OD

便可得到O到直线l的距离为

2

2

，根据点到直线的距离公式即可求出m=±1，这样便可求出直线l的方程．这时容易求出|AB|=2

2- 1 2

=

6

，所以可求得△OAB的面积．

解答： 解：已知圆的方程式为（x+1）²+（y-1）²=2，按向量

a

=(-1，1)平移得：
⊙O₁：x²+y²=2；

OC

=-(

OA

+

OB

)；
∴

OC

•

AB

=-(

OA

+

OB

)•(

OB

-

OA

)=

OA

2-

OB

2=0；
∴

OC

⊥

AB

；

OC

=λ

a

=λ(-1，1)，∴k_OC=-1，∴k_AB=1；
设l：y=x+m，AB中点为D；
由

OC

=-(

OA

+

OB

)=-2

OD

得，|

OC

|=2|

OD

|，|

OD

|=

1

2

|

OC

|=

2

2

；
∴O到AB的距离等于

2

2

；
即

|m|

2

=

2

2

，∴m=±1；
∴直线l的方程为y=x+1，或y=x-1；
O到AB的距离为

2

2

，∴|AB|=2

2-( 2 2 )2

=

6

；
∴S_△OAB=

1

2

×

6

×

2

2

=

3

2

．

点评：考查数量积的运算，向量垂直的充要条件，以及直线的点斜式方程，根据向量坐标求向量所在直线的斜率，以及点到直线的距离公式．