Question

8．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是正方形，正三角形BCE的边长为2，DE=2$\sqrt{2}$，F为线段CD上一点，G为线段BE的中点．
（1）求证：平面ABCD⊥平面BCE；
（2）求三棱锥A-EFG的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知结合勾股定理可得DC⊥EC，再由四边形ABCD是正方形得DC⊥BC，由线面垂直的判定得DC⊥平面BCE；再由面面垂直的判定得平面ABCD∩平面BCE=BC；
（2）过E作EH⊥BC于H，由（1）可知EH⊥平面ABCD，求出FH，然后利用等积法求得三棱锥A-EFG的体积．

解答 （1）证明：由题意$DC=EC=2，ED=2\sqrt{2}$，∴DC²+EC²=ED²，得DC⊥EC，
又∵四边形ABCD是正方形，∴DC⊥BC，
又BC∩CE=C，∴DC⊥平面BCE；
又∵DC?平面ABCD，平面ABCD∩平面BCE=BC，
∴平面ABCD⊥平面BCE；
（2）解：过E作EH⊥BC于H，
由（1）可知EH⊥平面ABCD，$EH=\sqrt{3}$，
由题意${S}_{△ABF}=\frac{1}{2}AB•AD=\frac{1}{2}×2×2=2$，
∴${V_{A-EFG}}={V_{E-AFG}}=\frac{1}{2}{V_{E-ABF}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×{S_{ABF}}×EH=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面、平面与平面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．