Question

11．已知函数f（x）=x（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）证明：当x≠0时，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的定义证明即可；
（2）证明x＞0时，f（x）＞0，利用f（x）是偶函数，即可证明结论．

解答 （1）解：由题意，函数的定义域为R，
∵f（x）=x•$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
∴f（-x）=-x•$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=x•$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=f（x），
∴f（x）是偶函数；
（2）证明：x＞0时，$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$＞0，∴f（x）=x•$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$＞0，
∵f（x）是偶函数，
∴x＜0，f（x）=x•$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$＞0，
∴当x≠0时，f（x）＞0．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查函数值的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．