Question

9．△ABC的内角A，B，C对边分别是a，b，c．且S_△ABC=30，cosA=$\frac{12}{13}$．
（Ⅰ） 求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的值；           
（Ⅱ）若c-b=1，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由A的范围和平方关系求出sinA，根据条件和三角形面积公式求出bc的值，由向量的数量积运算求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的值；
（Ⅱ）由c-b=1和cb=156求出c、b的值，由余弦定理求出a的值．

解答 解：（Ⅰ）∵0＜A＜π，cosA=$\frac{12}{13}$，∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{5}{13}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=30，解得bc=156，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=cbcosA=156×\frac{12}{13}=144$…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bc=156，
又c-b=1，联立方程解得c=13、b=12，
∵cosA=$\frac{12}{13}$，∴由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
=$1{2}^{2}+1{3}^{2}-2×12×13×\frac{12}{13}$=25，
则 a=5…（10分）

点评 本题考查余弦定理，向量的数量积运算，平方关系，以及三角形面积公式的应用，属于中档题．