题目内容

如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图（其中主视图为直角梯形，俯视图为正方形，左视图为直角三角形，尺寸如图所示）．

（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）求二面角E-PC-D的大小．

解：（Ⅰ）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，（1分）
PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA=4 $\text{[math]}$ ，BE=2 $\text{[math]}$ ，AB=AD=CD=CB=4，（3分）
∴V_P-ABCD= $\text{[math]}$ PA•S_ABCD= $\text{[math]}$ ×4 $\text{[math]}$ ×4×4= $\text{[math]}$ ．（4分）
（Ⅱ）由三视图可知，BE⊥BC，BE⊥BA，以B为原点，以BC，BA，BE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），P（ $\text{[math]}$ ），D（4，4，0）C（0，4，0）．（5分）
所以 $\text{[math]}$ ．设平面PCD的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z） $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ ．（8分）
设平面PCE的法向量为 $\text{[math]}$ ，同理可求 $\text{[math]}$ ．（10分） $\text{[math]}$ ．所以二面角E-PC-D的大小为π-arccos（ $\text{[math]}$ ）．（12分）
分析：（Ⅰ）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，求出底面面积和高，即可求出几何体的体积．
（Ⅱ）由三视图可知，BE⊥BC，BE⊥BA，以B为原点，以BC，BA，BE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
求出平面PCD的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z），平面PCE的法向量为 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ ，求出二面角E-PC-D的大小．
点评：本题是中档题，考查三视图的知识，几何体的体积的求法，二面角的求法，考查计算能力，转化思想，空间想象能力的应用．