Question

10．倾斜角为θ的直线过离心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）右焦点F，直线与C交于A，B两点，若$\overrightarrow{AF}$=7$\overrightarrow{FB}$，则θ=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合椭圆的第二定义列式求得答案．

解答 解：如图，
设椭圆的右准线为l，过A，B作AM，BN垂直于l，
过B作BE垂直AM于E，
则|AM|=$\frac{|AF|}{e}$，BN=$\frac{|BF|}{e}$，由$\overrightarrow{AF}$=7$\overrightarrow{FB}$，得|AM|=7|BN|，
∴$cos∠BAE=\frac{|AE|}{|AB|}=\frac{6|BN|}{|AB|}$=$\frac{6|BN|}{8e|BN|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴∠BAE=$\frac{π}{6}$；
当A在x轴上方时，同理可得$∠BAE=\frac{5π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．