Question

20．已知f（x）是定义在R上的偶函数，令F（x）=（x-b）f（x-b）+2016，若b是a、c的等差中项，则F（a）+F（c）=4032．

Answer 1

分析 令g（x）=xf（x），则g（x）是奇函数，由等差数列得a-b=-（c-b），故而F（a）+F（c）=g（a-b）+g（c-b）+4032=4032．

解答 解：F（a）+F（c）=（a-b）f（a-b）+2014+（c-b）f（c-b）+2016．
∵b是a、c的等差中项，∴a-b=-（c-b），
令g（x）=xf（x），则g（-x）=-xf（-x）=-xf（x）=-g（x）．
∴g（x）=xf（x）是奇函数，
∴（a-b）f（a-b）+（c-b）f（c-b）=0，
∴F（a）+F（b）=2016+2016=4032．
故答案为：4032．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，等差数列的定义，属于中档题．