Question

14．已知函数f（x）=a-bsin（2x-$\frac{π}{4}$）（b＜0）的最大值为$\frac{4}{3}$，最小值为$\frac{2}{3}$．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间[-$\frac{π}{8}$，m]上为增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若f（$\frac{ω}{2}$x）（ω＞0）的最小正周期不大于3π，求实数ω的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用正弦函数的最值，求得a、b的值．
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性，求得实数m的取值范围．
（Ⅲ）由条件利用正弦函数的周期性，求得实数ω的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=a-bsin（2x-$\frac{π}{4}$）（b＜0）的最大值为a-b=$\frac{4}{3}$，最小值为a+b=$\frac{2}{3}$，
∴求a=1、b=-$\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）由以上可得f（x）=1+$\frac{1}{3}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），若f（x）在区间[-$\frac{π}{8}$，m]上为增函数，
则2•（-$\frac{π}{8}$）-$\frac{π}{4}$≥-$\frac{π}{2}$，且 2m-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，求得m≤$\frac{3π}{8}$．
（Ⅲ）若f（$\frac{ω}{2}$x）=1+$\frac{1}{3}$sin（2•$\frac{ω}{2}x$-$\frac{π}{4}$）=1+$\frac{1}{3}$sin（ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期不大于3π，
则$\frac{2π}{ω}$≤3π，∴ω≥$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的最值，正弦函数的单调性和周期性，属于基础题．