Question

△ABC中，角A所对的边a=5，角B所对的边b=4，且cos（A-B）=

31

32

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的余弦函数

专题：计算题,解三角形

分析：A＜B． 作∠BAD=B，交边BC于点D，在△ADC中，由余弦定理求得AD=x=4，在△ADC中，由余弦定理求得cosC=

1

8

，可得 sinC 的值，再根据S_△ABC=

1

2

•a•b•sinC，运算求得结果．

解答： 解：∵a=5，b=4，
∴A＞B．
作∠BAD=B，交边BC于点D．  设BD=x，则AD=x，DC=5-x．

在△ADC中，注意cos∠DAC=cos（B-A）=

31

32

，由余弦定理得：（5-x）²=x²+16-8x•cos（B-A），
解得：x=4．
∴在△ADC中，AD=AC=4，CD=1，由余弦定理得：AD²=AC²+CD²-2AC•CD•cosC，
即 16=16+1-8cosC，解得：cosC=

1

8

，
∴sinC=

3 7

8

．
∴S_△ABC=

1

2

•a•b•sinC=

1

2

×4×5×

3 7

8

=

15 7

4

．

点评：本题主要考查余弦定理、同角三角函数的基本关系，求出cosC=

1

8

是解题的关键，属于中档题．