Question

17．已知α为第二象限角，sinα=$\frac{3}{5}$，β为第一象限角，cosβ=$\frac{5}{13}$，则tan（2α-β）的值为$\frac{204}{253}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得cosα和sinβ的值，可得tanα、tanβ的值，利用二倍角公式求得tan2α的值，利用两角和差的正切公式，求得tan（2α-β）的值．

解答 解：∵α为第二象限角，sinα=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{4}{5}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{3}{4}$，tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=-$\frac{24}{7}$．
∵β为第一象限角，cosβ=$\frac{5}{13}$，
∴sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{12}{13}$，
∴tanβ=$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{12}{5}$，
则 tan（2α-β）=$\frac{tan2α-tanβ}{1+tan2αtanβ}$=$\frac{-\frac{24}{7}-\frac{12}{5}}{1-\frac{24}{7}•\frac{12}{5}}$=$\frac{204}{253}$，
故答案为：$\frac{204}{253}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差的正切公式的应用，属于基础题．